ŝanĝi: alter or replace
"ŝanĝi" is to change <someone or something> (i.e. to alter <someone or something> or even to replace <someone or something>. It's a transitive verb, which means that it always requires a direct object: the thing or person being replaced or altered.
Examples:
Ŝi ŝanĝas la oleon. — She changes (replaces) the oil.
Vi ŝanĝis min. — You've changed (altered) me.
ŝanĝiĝŝanĝiĝi: become different
"ŝanĝiĝi" is to change, i.e. to undergo a change or to change itself or oneself. It's an intransitive verb, which means that it cannot take a direct object.
Examples:
La vetero ŝanĝiĝis. — The weather has changed. (became different than before)
Li ŝanĝiĝos. — He'll change. (He will become different than he is now.)
The -iĝ- affix
Most (maybe even all) transitive verbs in Esperanto can be turned into intransitive ones with reflexive meaning (i.e., the subject is also the object) by appending the suffix -iĝ-.